lunes, 30 de mayo de 2011

C-¿Te falta un tornillo?

El undecimo desafio matemático de "El país" me pareció de solución sencilla nada mas verlo. Se trataba de saber el peso de tornillos situados en cajas mediante elementos de medida de peso. El texto integro y el video de presentación está aquí.
La solución más sencilla es la siguiente: En cualquier ferretería puedes ver que los tornillos de 5 y de 6 milímetros se diferencian a simple vista por la longitud de los mismos. Parece ser que esta solución no es valida porque no es del todo matemática, aunque yo creo que medir la longitud si lo es.
Nada más ver el enunciado le dije a mi mujer, que está de testigo para que se sepa que no es una fantasmada, "esto se hace de una sola pesada usando la descomposición binaria". Intente hacerlo de cabeza, pero vi que era pensar mucho y preferí usar el excel.
Aqui os dejo mi propuesta de solución:

Siempre había resuelto este tipo de problemas usando una balanza, no una bascula de precisión, así que he tenido que pensar un poco.
Lo primero que pensé fue que cada caja sería representada por un número, 5 o 6 (interpretado como 0-1) e intentar descomponer ese número en binario. Así tendría que coger 1 tornillo de la primera, 2 de la segunda, 4 de la tercera, 8 de la cuarta y con los 16 de la quinta se me fastidió el invento. La sexta caja no haría falta numerarla porque sabiendo las 5 primeras, por dscarte sabriamos el peso de los tornillos de la sexta, pero eso no solucionaba el problema.
Había que adaptar los numeros de la descomposición binaria jugando con que en vez de 0 o 1, usariamos 5 o 6.
Tendríamos la suma c1*p1+c2*p2+c3*p3+c4*p4+c5*p5 donde ci sería la cantidad de tornillos de la caja i, y pi el peso de los tornillos de la caja i. Si encontraramos una combinacion de ci que pudiera establecer una función biyectiva en el conjunto de los naturales tendríamos resuelto el problema pues sabiendo el resultado de la suma, tendríamos el peso de los tornillos de cada caja.
Haciendo pruebas apoyandome en el excel para agilizar los calculos, descubrí que hay al menos 4 combinaciones que hacen posible esto: (1,2,4,7,13),(1,2,6,10,13),(1,2,7,10,13),(1,6,9,11,13).
Resumiendo, haciendo una sola pesada con el numero de tornillos indicado por cada caja, bastaría con mirar la tabla de resultados posibles para saber el peso de los tornillos de cada caja, siendo el peso de los tornillos de la sexta el restante.

Aún os da tiempo de copiarla para mandarla al concurso.

1 comentario:

  1. He fallado mi primer desafío matemático. Se me olvido poner un caso en mi hoja de excel (mas bien lo borré sin querer) y me salieron 2 casos más. No son válidos (1,2,6,10,13) y (1,6,9,11,13). Sin embargo, es cierto que hay 2 soluciones más, que son las "complementarias" de las primeras, que se obtienen restándo de 13 cada número (teniendo en cuenta que la caja 6 se escribiría como 0), (6,9,11,12,13) y (3,6,11,12,13). Lo siento.

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